Blogger MGT FE UD Kampus B: LINEAR PROGRAMMING DENGAN METODE SIMPLEKS

MATERI LINEAR PROGRAMMING

DENGAN METODE SIMPLEKS

PENDAHULUAN

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam Linear Programming adalah metode algoritma simpleks atau lebih dikenal dengan metode simpleks. Metode ini digunakan karena adanya keterbatasan penyelesaian masalah bila menggunakan metode grafis maupun substitusi. Metode ini mampu menyelesaikan masalah dengan jumlah variable 2 atau lebih.

Metode ini pertama kalinya diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lainnya. Penyelesaian masalah optimalisasi dengan metode simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu persatu dengan cara perhitungan iteratif.

ISTILAH-ISTILAH DALAM METODE SIMPLIKS

Iterasi : tahapan perhitungan dimana nilai dari perhitungan tersebut tergantung pada nilai tabel hasil perhitungan sebelumnya.

Variabel basis : variable yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada table awal simpleks, variable basis merupakan variable slack (jika fungsi kendala menggunakan tanda ≤) atau variable surplus (bila fungsi kendala menggunakan tanda ≥) atau variable buatan (bila fungsi kendala menggunakan tanda =).

Variabel non basis : variable yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminology umum, jml variable non basis selalu sama dg derajad bebas dalam system persamaan.

Variabel slack : variable yg ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variable ini terjd pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variable slack berfungsi sbg variable basis.

Variabel surplus : variable yg dikurangkan dari model matematik kendala utk mengkonversi pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).Penambahan variable ini terjd pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variable surplus ini tidak dapat berfungsi sbg variable basis.

Variabel buatan : variable yg ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sbg variable basis awal. Penambahan variable ini terjd pd tahap inisialisasi. Variabel ini hrs bernilai 0 pd solusi optimal krn pd kenyataannyavariabel ini tdk ada. Variabel ini hanya ada di atas kertas.

Variabel masuk : variable yg terpilih utk menjd variable basis pd iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu di antara variable non basis pd setiap iterasi. Variabel ini pd iterasi berikutnya akan bernilai positif.

Variabel keluar : variable yg keluar dari variable basis pd iterasi berikutnya dan digantikan oleh variable masuk. Variabel keluar dipilih satu di antara variabel basis pd setiap iterasi dan akan bernilai 0 pd iterasi berikutnya.

Kolom pivot (kolom kerja) : kolom yg memuat variable masuk. Koefisien pd kolom ini akan mjd pembagi nilai kanan utk menentukan baris pivot (baris kerja).

Baris pivot (baris kerja) : adalah salah satu baris di antara variable basis yg memuat variable keluar.

Elemen pivot (elemen kerja) : elemen yg terletak pd perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan mjd dasar perhitungan utk tabel simpleks berikutnya.

Nilai sebelah kanan : nilai sumberdaya pembatas yg masih tersedia pada tabel awal simpleks.

Solusi : nilai sebelah kanan yang menunjukkan nilai optimal dari Z pada iterasi terakhir.

BENTUK BAKU MODEL MATEMATIS

Sebelum melakukan perhitungan iterative untuk menentukan solusi optimal, langkah pertama adalah mengubah bentuk umum linear programming ke dalam bentuk baku simpleks terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan dan variabel keputusan masih bernilai 0.

Ada beberapa hal yg hrs diperhatikan dlm membuat bentuk baku/standar, yaitu :

1. fungsi kendala dg pertidaksamaan ≤ dlm bentuk umum, dirubah mjd persamaan (=) dg menambahkan satu variable slack.

2. fungsi kendala dg pertidaksamaan ≥ dlm bentuk umum, dirubah mjd persamaan (=) dg mengurangkan satu variable surplus.

3. fungsi kendala dg persamaan (=) dlm bentuk umum, ditambahkan satu variable buatan (artificial variable).

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN DG METODE SIMPLEKS

Dalam menyelesaikan masalah linear programming, dilakukan perhitungan iterasi dengan menggunakan table. Tabel awal yang dibuat berdasarkan model baku matematika yang ada dinamakan Tabel Awal Simpleks selanjutnya dilakukan perhitungan iterasi. Tahap-tahap yang ada yaitu :

1. membuat bentuk baku model matematik.

2. membuat table awal simpleks berdasarkan bentuk baku yang sudah ada.

3. memeriksa kelayakan table awal dg melihat nilai kanan. Bila ada yg bernilai negatif maka tidak layak diselesaikan.

4. menentukan kolom pivot dg cara sebagai berikut :

a. bila fungsi tujuannya maksimisasi maka pilih kolom dg nilai negatif terbesar.

b. bila fungsi tujuannya minimalisasi maka pilih kolom dg nilai positif terkecil.

c. bila nilai-nilai tersebut jumlahnya lebih dari satu, pilih sembarang.

Bila kolom pivot ditarik ke atas maka akan ditemukan variabel keluar.

1. menentukan baris pivot dg melihat hasil bagi nilai solusi dg nilai kolom pivot yg bersesuaian. Pilih yg mempunyai nilai bagi terkecil. Bila baris pivot ditarik ke kiri maka akan diperoleh variabel keluar.

2. menentukan elemen pivot dg mencari perpotongan kolom pivot dan baris pivot.

3. lakukan perhitungan-perhitungan untuk membuat iterasi selanjutnya.

4. memeriksa keoptimalan dengan melihat nilai koefisien fungsi tujuan di mana :

a. bila maksimisasi maka nilai solusi sudah positif atau nol.

b. bila minimisasi maka nilai solusi sudah negatif atau nol.

CONTOH 1

Pemilik perusahaan kayu yang memproduksi kursi dan meja mempunyai tenaga kerja dan persediaan kayu. Tenaga kerja dan persediaan kayu yang ada masing-masing sebanyak 450 orang perjam dan 400 board feet. Untuk membuat 1 kursi diperlukan kayu sebanyak 5 board feet dan 10 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp 45 ribu. Untuk membuat 1 meja diperlukan 20 board feet dan 15 orang/jam serta menghasilkan keuntungan Rp 80 ribu. Berapa banyak meja dan kursi harus diproduksi agar jumlah keuntungan yang ingin diperoleh maksimum.

Perumusan masalah

- variable keputusan, X1 = jumlah kursi dan X2 = jumlah meja

- fungsi tujuan, maksimum Z = 45X1 + 80X2

- fungsi kendala, 5X1 + 20X2 ≤ 400 ............ kayu

10X1 + 15X2 ≤ 450 .......... tenaga kerja

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 ................ non negatif

Bentuk baku fungsi tujuan :

- maksimum Z - 45X1 - 80X2 - 0S1 - 0S2 = 0

Bentuk baku fungsi kendala

- 5X1 + 20X2 + S1 = 400 ……………….. kayu

- 10X1 + 15X2 + S2 = 450 ………………. tenaga kerja

- X1, X2, S1, S2 ≥ 0 ………………………………………. non negatif

Tabel Awal Simpleks

Variabel Basis	X1	X2	S1	S2	RHS
Z	-45	-80	0	0	0
S1	5	20	1	0	400
S2	10	15	0	1	450

Variabel Basis	X1	X2	S1	S2	RHS	Rasio
Z	-45	-80	0	0	0	-
S1	5	20	1	0	400	400/20 = 20
S2	10	15	0	1	450	450/15 = 30

Tabel iterasi 1

Variabel Basis	X1	X2	S1	S2	RHS	Ket
Z	-25	0	4	0	1600	Baris awal ini + (baris pivotx80)
X2	5/20	1	1/20	0/20	20	Baris awal ini/20
S2	6,25	0	-3/4	1	150	Baris awal ini – (baris pivotx15)